在初级代数与解析几何,线性函数是只拥有一个变量的一阶多项式函数,又或者是常数函数。因为,采用直角坐标系,这些函数的图象是直线,所以,这些函数是线性的。要注意的是,与x轴垂直的直线不是线性函数。(因为输入值不对应唯一输出值,所以它不符合函数的定义) 图1 红、蓝直线斜率相同,红、绿直线 y截距相同

线性函数可以表达为斜截式:

其中m是斜率且 ,而 是 在y轴上的截距,即函数图象与 y轴相交点的 -坐标。改变斜率 会使直线更陡峭或平缓。改变 -截距 会将直线移上或移下。

图1展示了三个线性函数的图象:

红色与蓝色直线的斜率相同。 红色与绿色直线的 -截距相同。

线性变换:

在线性代数里,线性函数是一个线性映射。

设 V 和 W 是在相同域 K 上的向量空间。函数 f : V → W 被称为是线性映射,如果对于 V 中任何两个向量 a和 b与 K 中任何标量 k,满足下列两个条件:

非线性函数

即其维持向量加法与标量乘法。[1]

如果W等同域K,也称f是V上的一个线性函数。

例如,假若,我们用坐标向量 (Coordinate vector) 来表示x与f(x),那么线性函数可以表达为

f(x)=M*x;其中,M是矩阵。

两个变量之间存在一次函数关系,就称它们之间存在线性关系。

正比例关系是线性关系中的特例,反比例关系不是线性关系。

更通俗一点讲,如果把这两个变量分别作为点的横坐标与纵坐标,其图象是平面上的一条直线,则这两个变量之间的关系就是线性关系。

在高等数学里,线性函数是一个线性映射,是在两个向量空间之间,维持向量加法与标量乘法的映射。

例如,假若,我们用坐标向量(coordinate vector来表示 与 。那么,线性函数可以表达为

其中, 是矩阵。

仿射变换是指一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。

一个对向量 平移 ,与旋转放大缩小 的仿射映射为

上式在齐次坐标上,等价于下面的式子

在分形的研究里,收缩平移仿射映射可以制造制具有自相似性的分形。

一个在两个仿射空间之间的仿射变换,是在向量上呈现线性之坐标点的变换(即为空间中点与点之间的向量)。以符号表示的话, 使得 ,决定任一对点的线性变换:

或者

仿射变换表示

如上所示,仿射变换为两函数的复合:平移及线性映射。普通向量代数用矩阵乘法呈现线性映射, 用向量加法表示平移。正式言之,于有限维度之例中,假如该线性映射被表示为一矩阵“A”,平移被表示为向量 ,一仿射映射 可被表示为

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