自然对数是以自然常数 为底数的对数，记作 。其中自然常数 的定义是

自然常数的数值 。

另一种定义

证法1

令 ，已知

则已知 收敛于 ，即

所以， ，不妨设 ，则有

即 ，有

又易知对固定的 和 ，有

所以，对此给定 ， 当 时，有

即 ，当 时，有 ，即

证毕.

注：由该证法可以看出，对任意正数序列 ，若存在一个收敛数列 ，使得

则 收敛，且极限为

证法2

欲证 ，即要证

另一方面，又有

则有

故有

证毕。

在1690年，莱布尼茨在信中第一次提到常数e。在论文中第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔（John Napier）于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但他没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德（William Oughtred ）制作。第一次把e看为常数的是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）。欧拉也听说了这一常数，所以在27岁时，用发表论文的方式将e“保送”到微积分。

已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。

用e表示的原因不明，但可能因为e是“指数”（exponential）一词的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，e则是第一个可用字母。还有一种可能是，字母“e”是指欧拉的名字“Euler”的首字母。

以e为底的指数函数的重要方面在于它的函数与其导数相等。e是无理数和超越数（见林德曼-魏尔斯特拉斯定理，Lindemann-Weierstrass）。这是第一个获证的超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明。

自然常数的指数函数的导数是

可以根据自然常数的定义(1)和导数的定义来推导这个关系

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