代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程的数学分支，也是数学中最重要的、基础的分支之一。代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。初等代数学是指19世纪上半叶以前的代数方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。
代数学是研究代数结构的学问，这有两层含义：
第一层含义是研究各种代数结构，从而就不仅是群 环 域，还有这些结构的各种子结构，弱结构和对这些结构的公理进行变形后得到的各种结构；第二层含义是通过各种途径和技术来研究这些代数结构，比如同调的方法，范畴论的方法,，还有新近的量子化方法等等。
代数有两种含义，广义的和狭义的。广义的代数是指群、环、等等，这些结构及研究他们的方法论的总和； 狭义的代数一般专指向量空间上定义了某种满足一些公理化条件的乘法后的这种结构。[1]
在中世纪的欧洲，对代数学有较大贡献的是意大利数学家斐波那契，他的《算盘书》（1202）是这一时期最重要的数学著作，其中系统地向欧洲人介绍了阿拉伯的算术和代数。书中载有一个有趣的“兔子繁殖问题”（见斐波那契兔子问题），导致有名的斐波那契级数的研究，后人发现这个级数有许多重要而有趣的性质，至今仍有人在研究，美国人在20世纪60年代初还创办《斐波那契季刊》，专门刊登这方面的新发现。[1] 斐波那契
几何学明显地从数学中分离出来，并在希腊科学中占统治地位，其威力之大，以致于纯算术的或代数的问题都被转译为几何语言：量被解释为长度，两个量之积解释为矩形、面积等。现代数学中保留的称二次幂为“平方”，三次幂为“立方”，就是来源于此。古希腊时期流传至今的与代数有关的著作只有丢番图的《算术》。该书中解决了某些一次、二次方程问题和不定方程问题，出现了缩写符号和应用负数之例。其问题构思精巧，解题方法极多，但最大的缺点是没有解方程的一般方法。[1] 李善兰
代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆，’（一堆东西），并以象形文字表示。古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？[1] 初等的代数运算