数学分析中的积分指的是一元和多元实函数在黎曼意义下的积分。各类积分中最基 本的是定积分和作为微分逆运算并为计算定积分服 务的不定积分,其他的还有重积分、曲线积分、曲面 积分和各种情形下的反常积分。这些都是定积分的推广。

积分学也是高等数学的基础学科之一。积分学的研究对象也是函数,其研究方法是另一类极限值的计算,牵涉到曲边形面积和体积的计算,其研究任务是积分的性质、法则和应用。同样由研究的函数是 一元和多元而分为 一元函数积分学和多元函数积分学。

研究积分(包括定积分与不定积分)的性质、计算方法与应用的一个微积分学分支。积分学的出现,比微分学早得多,在古希腊数学中,已有积分思想的萌芽。

开普勒、卡瓦莱利、费马、瓦里斯、帕斯卡等人,为积分学的形成奠定了基础。

在1696年,约翰·伯努利把这门学科定名为“积分学”,取代以前由莱布尼兹命名的“求和学”。

积分这个词是雅各布第一 ·伯努利(Bemoul一 li,Jacob I )于1690年首先使用的。

1696年,莱布尼茨(Leibniz,G. W.)与他确定用积分学这个词代替 莱布尼茨原来使用的求和计算这个名称。积分学源于求曲线形的面积、弧长和立体体积等几何问题,以及由变速运动物体的速度求它经过的路程的力学问 题。它的思想萌芽可追溯到古希腊时期用以求面积和体积的穷竭法。莱布尼茨实质上接受了卡瓦列里 (Cavalieri,(F.)B.)不可分量法的思想,将图形看成 无穷多个宽度为无穷小的矩形之和。

牛顿(Newton,I.)从另一途径导致积分概念.他首先确定曲线下的面积*5对曲线的横坐 标^的变化率(即导数)为纵坐标 >这样面积S就 可以由3<经过反微分得出.在本例中曲线是y =

莱布尼茨 的积分是无穷多个无穷小之和,牛顿的积分则是反 微分。两人又几乎同时互相独立地得出积分与微分的互逆关系(前者在1675年,后者在1666年),由此得到在很多情况下可行的积分计算方法,即通过求 原函数算积分,这样积分才成为真正有意义的概念,它也标志着积分学这个新学科的创立。[1]

积分学的理论表现在两个主要方面: 函数的积分与集合的测度。

集合的测度理论起源于欧多克斯与阿基米德的工作中. 由康托与若当进行了推广. 随着波雷尔,勒贝格及卡拉西奥多里的研究成果,它有了现在的形式。

函数积分的理论是随帕斯卡,费马,莱布尼茨及欧拉的工作开始的. 柯西与黎曼加以精确化并推广了它.以后随勒贝格,拉东及黎兹的工作,使它有了现在的形式。

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