解释

所谓不动点,是指将一个给定的区域A,经某种变换f(x),映射到A时,使得x=f(x)成立的那种点。

最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912):设A为Rn中的一紧致凸集,f为将A映射到A的一连续函数,则在A中至少存在一点x,使得x=f(x)。其后,角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一x∈A,f(x)为A的一子集。若f(x)具有性质:对A上的任一收敛序列xi→x0,若yi∈f(xi)且yi→y0,则有y0∈f(x0),如此的f(x)称为在A上半连续,角谷静夫定理:设A为Rn中的一紧致凸集,对于任何x∈A,若f(x)为A的一非空凸集,且f(x)在A上为上半连续,则必存在x∈A,使x∈f(x)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。

例如,关于代数方程的基本定理,要证明f(x)=0必有一根,只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数f(x)+x有一不动点即可;在运筹学中,不动点定理的用途至少有二:一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点;一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划问题:min{f(x)│gi(x)≤0,i=1,2,…,m},在此,f和g1,g2,…,gm皆为Rn中的凸函数。通过适当定义一个函数φ,可以证明:若上述问题的可行区域非空,则φ的不动点即为该问题的解。

在1964年以前,所有不动点定理的证明都是存在性的证明,即只证明有此种点存在。1964年,C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年,H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后,不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集,后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n维单纯形Sn为例来说明这一概念,在此,。对每一i,将区间0≤xi≤1依次分为m1,m2…等分,m1<m2[1]

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