解释
所谓不动点，是指将一个给定的区域A，经某种变换f(x)，映射到A时，使得x=f(x)成立的那种点。
最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集，f为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=f（x）。其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一x∈A，f(x)为A的一子集。若f(x)具有性质：对A上的任一收敛序列xi→x0，若yi∈f(xi)且yi→y0，则有y0∈f(x0)，如此的f(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为Rn中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若f(x)为A的一非空凸集，且f(x)在A上为上半连续，则必存在x∈A，使x∈f(x)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。
例如，关于代数方程的基本定理，要证明f(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数f(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划问题：min{f(x)│gi(x)≤0，i=1，2，…，m}，在此，f和g1，g2，…，gm皆为Rn中的凸函数。通过适当定义一个函数φ，可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。
在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。1964年，C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n维单纯形Sn为例来说明这一概念，在此，。对每一i，将区间0≤xi≤1依次分为m1，m2…等分，m1＜m2[1]