在数学分析中，在给定范围内（相对极值）或函数的整个域（全局或绝对极值），函数的最大值和最小值被统称为极值（极数）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位提出函数的最大值和最小值的数学家之一。
如集合论中定义的，集合的最大和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。
对于在X上定义的实值函数 ，对于X中的所有x，如果满足 ，那么 就是全局（或绝对）最大点。类似地，对于X中的所有x，如果 ，那么 就是全局（或绝对）最小点，则最大点处的函数值称为函数的最大值，最小点处的函数值被称为函数的最小值。
如果域X是度量空间，那么如果存在 ，则 在点 处具有局部（或相对）最大点，使得所有x的 ，X在 的距离 内。类似地，对于距离ε内的X中的所有x，如果 ，函数具有局部最小点。当X是拓扑空间时，可以使用类似的定义，因为刚才给出的定义可以根据邻域进行重新表述。
在全体和局部的情况下，可以界定严格最值的概念。例如，如果对于 ≠ 的X中的所有x，我们有 ，那么 是一个严格的全局最大点；如果存在 ，使得对于 的距离 内的X中的所有x， ≠ ，我们有 ， 是严格的局部最大点。注意，当且仅当它是唯一的全局最大点时，点是严格的全局最大点，并且对于最小点也是类似的。[1]
具有紧凑域的连续实值函数总是具有最大点和最小点。一个重要的例子是其域是实数的闭（有界）间隔的函数（见图1）。
图1
找到全局最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合间隔上是连续的，则通过最值定理存在全局最大值和最小值。此外，全局最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或者必须位于域的边界上。因此，找到全局最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小）一个。
费马定理可以发现局部极值的微分函数，它表明它们必须发生在临界点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。
对于分段定义的任何功能，通过分别查找每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。
（1）函数 在x = 0时具有唯一的全局最小值。
（2）函数 没有全局最小值或最大值。虽然x = 0时的一阶导数 为0，但这是一个拐点。
（3）函数 在x = 1 / e处的正实数具有唯一的全局最大值。