判别式即判定方程实根个数及分布情况的公式。
任意一个一元二次方程 均可配成 ，因为a≠0，由平方根的意义可知， 的符号可决定一元二次方程根的情况。
叫做一元二次方程 的根的判别式，用“△”表示(读做“delta”)，即△= 。
在一元二次方程 中
（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当△<0时，方程没有实数根,方程有两个共轭虚根。
（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有实数根。
上面结论反过来也成立，可以具体表示为：
在一元二次方程 （a≠0，a、b、c∈R）中，
①当方程有两个不相等的实数根时，△>0；
②当方程有两个相等的实数根时，△=0；
③当方程没有实数根时，△<0。
（1）和（2）合起来：当方程有实数根时，△≥0。
注意 根的判别式是△= ，而不是△= 。
一元二次方程求根公式：
当Δ= ≥0时， ，当Δ=0时，x= ;
当Δ= <0时， (i是虚数单位)。
在一元二次方程 （a、b、c是虚数）中
当Δ≥0时，此方程有两个相等的复根；
当Δ<0时，此方程有两个不等的复根[1] 。
（1）解方程，判别一元二次方程根的情况。
它有两种不同层次的类型：
①系数都为数字；
②系数中含有字母；
③系数中的字母人为地给出了一定的条件。
（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系。
（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）。
应用
① 解一元二次方程，判断根的情况。
② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④ 应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦ 可以判断抛物线与x轴有几个交点
抛物线 与x轴的交点。当y=0时，即有 ，要求x的值，需解一元二次方程 。可见，抛物线 与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程 的根的情况确定的，而决定一元二次方程 的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：