给定两定点F 、F'，假定P点与F、F'的距离分别为r1与r2，若满足方程：m*r1+n*r2=d，其中，m、n、d都是常数，则称P点的轨迹为笛卡尔卵形线。当m=n时，为椭圆。在一般情况下，笛卡儿卵形线是四次曲线，它包括两个没有共同点的闭曲线，而且一个在另一个之内。在内的一个类似于椭圆，在外的一个可能是凸的，也可能有拐点(如图1所示)。 图1
笛卡儿(Descartes , R. )在《折光》里讨论了这个曲线和它的折光性质，他成功地解决了什么样的曲面作为两种介质的交界面时，能使从第一种介质内一点发出的光线射到曲面上，折入第二种介质而聚于一点。他发现具有这个性质的旋转面是由笛卡儿卵形线产生的。
选取适当的m、n值，可使通过点A的光线经折射后，全部通过点B。笛卡尔曾利用这个光学性质，选取笛卡儿卵形线作为透镜的截面形状，用来消除球面像差。
设A，B是平面内两个定点，AB=2c（c是定长），平面内满足MA*MB=a^2（a是定长）的点M的轨迹称为卡西尼卵形线。卡西尼卵形线是由天文学家乔凡尼卡西尼提出的。其直角坐标方程为： 卡西尼卵形线
（1）当a=c时，卡西尼卵形线是双纽线；
（2）当a
（3）当a>c时，不自交。
卵形线是类似于椭圆，但是一头大，一头小，有一条对称轴且光滑封闭的平面曲线。卵形线的对称轴与大、小头的两个交点称为卵形线的大端点和小端点，记为Q、P。卵形线上到其对称轴距离最大的两点称为卵形线的对称端点，记为S、T，线段QP、ST分别称为卵形线的直径和对称直径，卵形线的直径与对称直径的交点称为卵形线的卵心，记为O，线段OP,OQ,OS（或OT）分别称为卵形线的长半径、短半径、对称半径，其长度分别记为a、b、c。长半径、短半径、对称半径称为卵形线的三个特征参数。 图2 卵形线及其在直角坐标系中示意图
已知卵形线的长、短、对称半径a、b、c这三个特征参数，在平面直角坐标系中，以卵形线的对称轴作为x轴，x轴正向与卵形线小头方向一致，卵形线的卵心作为坐标系原点．以正数a、b、c(a>b)为长、短、对称半径的卵形线在直角坐标系中示意图如图2所示。其三次卵形方程为[1] ：