在数学中,双曲线(多重双曲线或双曲线)是位于平面中的一种平滑曲线,由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片,称为连接的组件或分支,它们是彼此的镜像,类似于两个无限弓。
双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。(其他圆锥部分是抛物线和椭圆,圆是椭圆的特殊情况)如果平面与双锥的两半相交,但不通过锥体的顶点,则圆锥曲线是双曲线。
双曲线出现在许多方面:
作为在笛卡尔平面中表示函数 的曲线;作为日后的阴影的路径;作为开放轨道(与闭合的椭圆轨道不同)的形状,例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道,或更一般地,超过最近行星的逃逸速度的任何航天器;作为一个单一的彗星(一个旅行太快无法回到太阳系)的路径;作为亚原子粒子的散射轨迹(以排斥而不是吸引力作用,但原理是相同的);在无线电导航中,当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时,等等。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直(较低曲率)的两个臂。对角线对面的手臂,一个从每个分支,倾向于一个共同的线,称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线,其交点位于双曲线的对称中心,这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线 的情况下,渐近线是两个坐标轴。
双曲线共享许多椭圆的分析属性,如偏心度,焦点和方向图。许多其他数学物体的起源于双曲线,例如双曲抛物面(鞍形表面),双曲面(“垃圾桶”),双曲线几何(Lobachevsky的着名的非欧几里德几何),双曲线函数(sinh,cosh,tanh等)和陀螺仪矢量空间(提出用于相对论和量子力学的几何,不是欧几里得)。[2]
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a,小于|F1F2|)的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线。
即:||PF1|-|PF2||=2a
定义1:
平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,两焦点之间的距离称为焦距,用2c表示。
定义2:平面内,到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e>1,即为双曲线的离心率;定点不在定直线上)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线。
定义3:一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线。
定义4:在平面直角坐标系中,二元二次方程F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时,其图像为双曲线。