中国唐朝数学家王孝通在武德九年(626年)前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。[1]

波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048年-1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则。

在十六世纪早期,意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法,也就是形如 的方程。事实上,如果我们允许 是复数,所有的三次方程都能变成这种形式,但在那个时候人们不知道复数。

尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程式的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程式解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给负数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算,但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题,并因此被人们认为是复数的发现者。

设方程为[2]

一元三次方程一般形式为

其中 和 ( )是属于一个域的数字,通常这个域为R或C。

公式

则有

X1·X2·X3=-d/a;

X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a;

X1+X2+X3=-b/a。

一元三次方程解法思想是:通过配方和换元,使三次方程降次为二次方程求解。

中国南宋伟大的数学家秦九韶在他1247年编写的世界数学名著《数书九章》一书中提出了数字一元三次方程与任何高次方程的解法“正负开方术”,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则,纯用代数加法,给出统一的运算规律,并且扩充到任何高次方程中去。这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多。这种方法被后人称为“秦九韶程序”。世界各国从小学、中学到大学的数学课程,几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。

欧洲三次方程解法的发现是在16世纪的意大利,那时,数学家常常把自己的发现秘而不宣,而是向同伴提出挑战,让他们解决同样的问题.想必这是一项很砥砺智力,又吸引人的竞赛,三次方程的解法就是这样发现的.

最初,有一个叫菲奥尔的人,从别人的秘传中学会了解一些三次方程,便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战.塔尔塔利亚原名丰塔纳,小时因脸部受伤引起口吃,所以被人称为塔尔塔利亚(意为"口吃者").他很聪明,又很勤奋,靠自学掌握了拉丁文,希腊文和数学.这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程,菲奥尔却不能解答他提出的问题.当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法,并发誓保守秘密,塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹.后来卡尔丹却背信弃义,把这个方法发表在1545年出版的书里.在书中他写道:"波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法,并把它传给了菲奥尔.菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它.塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我,但保留了证明.我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明.这是很难做到的."卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒,他马上写了一本书,争夺这种方法的优先权.他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突。最后,这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的。

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