由微分流形M的闭p形式组成的实向量空间对恰当p形式组成的子空间得到的商空间为M的第p德拉姆上同调群。[1]
概述
任何光滑流形 上的光滑微分 -形式在加法之下形成一个交换群（实际上也是一个实向量空间），称为
外导数 给了以下的映射
下面是一个基本的关系
这本质上是因为二阶导数的对称性。所以 -形式和外导数形成一个上链复形(cochain complex),称为德拉姆复形:
微分几何术语中，是其它微分形式的外导数的形式称为恰当形式(exact form)，而外导数为0的形式称为闭形式； 这个关系说明
恰当形式是闭形式。
其逆命题却一般来说不成立；闭形式未必恰当。德拉姆上同调的想法就是给一个流形上不同类型的闭形式分类。分类这样进行，如果 中的两个闭形式 和 是上同调的，如果他们相差一个恰当形式，也就是，若 为恰当形式。这个分类导出一个 中的闭形式空间的一个等价关系。然后定义 阶德拉姆上同调群为
等价类的集合，也就是， 中闭形式模恰当形式。
注意，对所有有n个连通分量的流形 ，
这是因为M上导数为零的 函数在每个连通分量上为常数。
通常我们可以通过已知的0上同调群和Mayer-Vietoris序列来计算一个流形的其他的德拉姆上同调群。另一个有用的事实是德拉姆上同调是同伦不变量。下面是一些常见拓扑对象的上同调群，但我们没有给出计算步骤：
n-球:
对于n-球，或者球和一个开区间的乘积，我们有以下结果。令 , 而 为一个实开区间. 则:
n-圆环:
类似的， 令 ，可以得到：
穿孔欧几里得空间:
穿孔欧几里得空间就是拿掉原点的欧几里得空间。对于 ， 我们有:
莫比乌斯带(Möbius strip)， ：
大致来说，下面的结果或多或少是因为莫比乌斯带可"收缩(contract)"为一个1-球（圆）：
调和形式
若 是一个紧黎曼流形，则每个 中的等价类包含恰好一个调和形式。也就是说，给定闭形式的等价类的任一代表 可以写为
其中 是一个形式，而 是调和的： 。
注意一个紧黎曼流形上的调和函数是一个常数。这样，这个特殊的代表元素可以视为流形上所有上同调等价的形式中的一个极值(极小值)。例如，在2-圆环上，一个常1-形式可以视为在一个形式，它所有的"毛"都整齐的梳到一个方向(而且所有的毛都一样长)。这个情况下，这表示2维环的第一贝蒂数是2。更一般的，在一个 维环 上，可以考虑 -形式的各种不同的梳理。有 种不同的梳理用来建立 的一个基；因此 -环的第 贝蒂数就是 。