狭义的分析学（analysis）——数学分析
以微分学、积分学、级数论、实数理论为其基本内容。
广义的分析学（analysis）
极限的概念不仅是微积分的核心，也是许多其他学科的重要思想。微积分是近代数学的基础，已产生许多新的数学分支，如微分方程、函数论、变分法、泛函分析等，统称为广义的分析学。
古希腊时期，数学家们就已经开始对一些与分析学相关的问题进行探索。比如，欧多克斯提出了穷竭法来计算图形的面积和体积，这是极限思想的雏形。阿基米德利用穷竭法求出了抛物线弓形的面积等，为后来积分学的发展奠定了一定基础。
中世纪时期，数学的发展相对缓慢，但仍有一些学者为分析学的发展做出了贡献。阿拉伯数学家在代数和几何方面取得了一些进展，他们的工作为后来分析学中函数概念的形成提供了一定的基础。
欧洲的一些学者开始研究运动和变化的问题，比如奥雷斯姆提出了用图形来表示变量之间的关系，这可以看作是函数图像的早期形式，为后来微积分的产生提供了思想启示。
微积分的创立：17 世纪，科学技术的发展迫切需要解决一些与运动、变化相关的问题，如天体力学中行星运动的轨道问题等。牛顿和莱布尼茨在前人工作的基础上，各自独立地创立了微积分。牛顿主要从运动学的角度，把微积分应用于力学和天文学；莱布尼茨则从几何学的角度，引入了一套系统的微积分符号，使微积分的运算更加方便和规范。
分析学的系统化：18 世纪，微积分得到了广泛的应用和发展，一大批数学家如伯努利家族、欧拉等对微积分进行了深入研究和推广。欧拉的《无穷小分析引论》等著作，将微积分建立在函数的基础上，使分析学开始成为一个独立的数学分支，并且逐渐系统化。
严格化运动：19 世纪，柯西、魏尔斯特拉斯等数学家对分析学的基础进行了严格化。柯西给出了极限、连续、导数、积分等概念的严格定义，魏尔斯特拉斯进一步完善了这些定义，引入了 ε-δ 语言等，使分析学建立在坚实的逻辑基础之上，摆脱了早期微积分中一些模糊和不严格的概念。