应用上常遇到以e为底的指数函数 和 所产生的双曲函数以及它们的反函数——反双曲函数，而双曲正弦函数是双曲函数的一种，它的定义式[1] 为 。 用WPS表格制作的双曲正弦函数的图像
当x的绝对值很大时，双曲正弦函数的图形在第一象限内接近于曲线 ，在第三象限内接近于曲线 。当x=0时，sinhx=sinh0=0。
双曲正弦函数的定义域为 ，值域也为 。
双曲正弦函数是奇函数，它的图形通过原点且关于原点对称[2] 。
证明如下：
根据奇函数的定义，可得出上述结论。
双曲正弦函数在区间 内它是单调增加的。证明如下：
查双曲函数的导数公式，得到：
而双曲余弦函数的值域是 。无论 取何值， 的值永远大于0。可见，双曲正弦函数在 内永远是单调递增的。
无论是双曲正弦函数y=sinhx，还是双曲正切函数y=tanhx、双曲余弦函数y=coshx，它们都不是周期函数。
双曲正弦函数在 是凸函数，在 是凹函数
证明：根据函数凹凸性的判定定理：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么：
（1）若在（a,b）内， ，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的
（2）若在（a,b）内， ，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的
根据双曲函数的导数公式，求得双曲正弦函数的二阶导数[3] 为：
可见，双曲正弦函数的二阶导数仍然是双曲正弦函数（它本身），而根据双曲正弦函数的单调性，且sinh0=0。可知当x>0时，sinhx的二阶导数大于0。x<0时，sinhx的二阶导数小于0，则可得出上述结论。
双曲正弦函数的导数是双曲余弦函数，即 。[3]
双曲正弦函数的积分[3] 是这样的：
其中，大写的C为任意常数。不难发现，除去任意常数C,双曲正弦函数的积分也是双曲余弦函数。
其中，大写的C为任意常数。
双曲正弦函数的泰勒展开式[3] 为：
即：
双曲正弦函数的反函数是反双曲正弦函数，数学表示上记作arsinh。它的定义式为： 双曲正弦的反函数——反双曲正弦函数的图像
函数y=arsinhx的定义域为 ，它是奇函数，在区间 内单调增加。