当 为正整数时， 个数 的积可记作 ，又称 的 次方。其表达式为
当 且 时， 。
当 且 时， 。
当 为最简分数形式， 为正整数且 时， 。
其中 表示 的 次方根，其为关于 的方程 的唯一正实数解。[1]
当 且 时，考虑集合 满足
故对于任意满足 的有理数 ，可知 是 的上界。根据确界原理，可知集合 存在上确界，由此定义
当 且 时， 。
当 且 时， 。[1]
至此，可以得到定义在实数上的一元实值函数。
指数函数作为一元实值函数，表示为 ，其中 且 。
正整数指数的上述性质可以很容易验证。可以认为，有理数指数的定义是为了保持正整数指数的上述性质而给出的，实数指数的定义是为了使得指数函数连续而给出的。
当 时，函数 的图象大致如图。
底数大于1的指数函数图像
当 时，函数 的图象大致如图。 底数小于1的指数函数图像
当两正数 满足 时，函数 和 的图象关于y轴对称。
对称的指数函数图像
指数函数 的定义域为 ，值域为 。
指数函数在 处的取值等于 ，与 的具体取值无关。即 。
当 时，指数函数 在 单调递增。且当 时， ；当 时， 。
当 时，指数函数 在 单调递减。且当 时， ；当 时， 。
指数函数具有反函数。指数函数的反函数是对数函数。
指数函数的函数值增长或减小是非常快的，该特点又被称为“指数爆炸”。
指数函数具有幂级数展开
指数函数的导函数与不定积分均为自身，即
例1 已知指数函数 是单调递减的，求 的取值范围。
解 由指数函数的性质可知
解得
即 的取值范围是 。
例2 ， ，比较 和 的大小关系。
解 由指数函数的性质可知 。故而可知 和 的大小关系为 。