细胞的分裂是一个很有趣的现象,新细胞产生的速度之快是十分惊人的。例如,某种细胞在分裂时,1个分裂成2个,2个分裂成4个……因此,理想条件下第x次分裂得到新细胞数y与分裂次数x的函数关系式即为: 。
这个函数便是指函数的形式,且自变量为幂指数,我们下面来研究这样的函数。
一般地,函数 (a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是R。[3] 对于一切指数函数来讲,值域为(0, +∞)。指数函数中 前面的系数为1。如: 都是指数函数;注意: 指数函数前系数为3,故不是指数函数。[3]
指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还称为欧拉数[3] 。
当a>1时,指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在 x等于0的时候,y等于1。当0 作为实数变量x的函数,
的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴,尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以,x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x),它定义在所有正数x上。 有时,尤其是在科学中,术语指数函数更一般性的用于形如
(k属于R) 的函数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数[3]
。 指数函数的一般形式为
(a>0且≠1) (x∈R),从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得a>0且a≠1。 如图1所示为a的不同大小影响函数图形的情况[4]
。 在函数中可以看到
:
图1 指数函数图像
(1) 指数函数的定义域为R,这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不连续,因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑。 (2) 指数函数的值域为(0, +∞)。 (3) 函数图形都是上凹的。 (4) a>1时,则指数函数单调递增;若0 (5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(不等于0)函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
图2 指数函数增减性
(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。