幂指函数指数和底数都是变量的函数,形如 是数集)的函数称为幂指函数,其中 u,v 是 E 上的函数。

当不给出 u(x)与 v(x) 的具体形式时,总要求 。因此,幂指函数可改写成由 与 复合而成的函数 f(g(x)),从而当 u,v 连续时它连续,u,v 可微时它也可微。[1]

幂指函数既像幂函数,又像指数函数,二者的特点兼而有之。作为幂函数,其幂指数确定不变,而幂底数为自变量;相反地,指数函数却是底数确定不变,而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广,就是广义幂指函数。

最简单的幂指函数就是y=xx。说简单,其实并不简单,因为当你真正深入研究这种函数时,就会发现,在x<0时,函数图象存在“黑洞”——无数个间断点,如右图所示(用虚线表示)。

在x>0时,函数曲线是连续的,并且在x=1/e处取得最小值,约为0.6922,在区间(0,1/e]上单调递减,而在区间[1/e,+∞)上单调递增,并过(1,1)点。 图1.最简单的幂指函数

此外,从函数y=xx的图象可以清楚看出,0的0次方是不存在的。这就是在初等代数中明文规定“任意非零实数的零次幂都等于1,零的任意非零非负次幂都等于零”的真正原因。

本段中所有 的记号,表示的是各种可能的趋向,即 *可以是a、a-0、a+0 、∞ 、-∞ 或+∞ 。

利用恒等变形(即换底变形) 及复合函数 求极限法则 ,有

是两个函数乘积的极限,我们知道当且仅当 和 中有一个等于0,另一个为 时,极限 才是待定型。

所以幂指函数极限 仅有三种待定型: 型、 型、 型。

幂指函数的极限 除了上述三种待定型外没有第四种待定型了。

若 、 ,因为规定l了 ,所以必有 ,则

(1) ,(i) , ;(ii) , ;

(2) , , ;

(3) ,(i) 为 , ;(ii) 为为 , ;

(4) ,(i) 为 , ;(ii) 为为 , ;

(5) 为+ ,(i) 或 , ;(ii) 或 , 。

(1)求 ,

解 这个极限式“ 型”待定型,先求 ,所以

(2)求 ,

解这个极限式是“ 型”待定型,先求 ,其中

利用等价无穷小关系公式 可作等价无穷小代换 ,即可得

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