纯点谱与本征矢量相应，而后者又对应到系统的束缚态(bound states)；绝对连续谱则对应到自由态(free states)；奇点谱则很有趣地由物理学上不可能的结果所组成。举例来说，考虑有限势阱的情形，其许可了具有离散负能量的束缚态，以及具有连续正能量的自由态。
一般的哈密顿算符具有如下形式：
薛定谔方程可写成：
哈密顿算符产生了量子态的时间演化。若为在时间 t 的系统状态，其中ℏ为约化普朗克常数。此方程为薛定谔方程。（其与哈密顿-雅可比方程具有相同形式，也因为此，Ĥ 冠有哈密顿之名。）若给定系统在某一初始时间（t=0）的状态，我们可以积分得到接下来任何时间的系统状态。其中特别的是，若Ĥ与时间无关，则定态解形式不变。
定态薛定谔方程 中的哈密顿算符具有如下形式：
一维情形：
三维情形：
定态薛定谔方程可以转化为一个偏微分方程
或化成
对于不同的势函数 V，解这个偏微分方程的即得到定态波函数。[1]
首先，“ ”这个东西具有“双重性格”，它既是一个矢量，又是一个微分算子（求导运算），所以哈密顿算符兼具矢量和微分的性质。按照定义：
eg：
其中 ， ， 分别为 ， ， 坐标轴的单位矢量。
上式表示D的散度（也记为divD），Dx，Dy，Dz分别为D在x，y，z坐标轴上的分量。▽×H表示H的旋度（也可记为rotH或curlH）。[2]