如果一维随机变量 的密度函数为：
其中 和 为常数且 ，则称随机变量 服从参数为 的正态分布，记作 [1] ，读作X服从 。 为总体均数， 为总体标准差[4] 。这里N为”Normal distribution(正态分布)”一词的首字母[5] 。
特别地，当 时，正态分布 称为标准正态分布，其密度函数为：
标准正态分布之所以重要，一个原因在于：任意的正态分布 的计算很容易转化为标准正态分布 。容易证明：若 ，则 [5] 。
正态分布概率密度函数的曲线
累积分布函数，也叫分布函数，是概率密度函数的积分。概率密度函数与分布函数是一一对应的，即知道其一即可求出另一个[5] 。根据连续型随机变量分布函数的定义，一般正态分布 的分布函数为：
特别地，当参数 时，标准正态分布 的分布函数为
且有 。 正态分布的累积分布函数曲线
正态分布可以通过一系列矩（moments）逐步揭示其图形特征，包括位置、离散程度、对称性和尾部特性。矩是关于随机变量的期望值的函数，用于描述分布的几何和统计特性。设 为随机变量，c为常数，k为正整数，则 称为 关于c点的k阶矩。
均值是分布的一阶原点矩，定义为 。对于正态分布，均值描述了分布的中心位置，即钟形曲线的对称轴所在的位置。在标准正态分布中，均值为0。正态分布是对称的，因此均值也是分布的众数和中位数。
方差是分布的二阶矩，定义为
它描述了随机变量相对于均值的平均偏离程度。对于正态分布，方差决定了分布的宽度或离散性。较大的方差意味着分布较为分散，曲线更为平坦；较小的方差意味着分布更为集中，曲线更为尖锐。