①CD2=AD·BD;
②AC2=AD·AB;
③BC2=BD·AB;
④AC·BC=AB·CD
证明：①∵CD2+AD2=AC2,CD2+BD2=BC2
∴2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2
∴2CD2=AB2-AD2-BD2
∴2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2
∴2CD2=AD2+2AD·BD+BD2-AD2-BD2
∴2CD2=2AD·BD
∴CD2=AD·BD
②∵CD2=AD·BD(已证)
∴CD2+AD2=AD·BD+AD2
∴AC2=AD·(BD+AD)
∴AC2=AD·AB
③BC2=CD2+BD2
BC2=AD·BD+BD2
BC2=(AD+BD)·BD
BC2=AB·BD
∴BC2=AB·BD
④∵S△ACB= AC×BC= AB·CD
∴ AC·BC= AB·CD
∴AC·BC=AB·CD
中学阶段，射影定理有两个，分别是：
（1）直角三角形中的射影定理：∆在ABC中，C为直角，CD⊥AB，则AC2=AD⋅AB，CD2=AD⋅DB，BC2=BD⋅ AB；[3]
（2）任意三角形的射影定理（亦称第一余弦定理 ）： 。[3]
欧几里得提出的面积射影定理projective theorem规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。（即COSθ=S射影/S原）。” 射影定理的推广证明
(平面多边形及其射影的面积分别是 和 ,它们所在平面所成的二面角为 )
因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。 正射影二面角的欧几里得射影面积公式
那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。
在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有
注：这三个式子叫做射影定理，也可以在三角形中作三条高加以证明。[2]
欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，公元前325年—公元前265年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时期的亚历山大里亚。 直角三角形中的射影定理