大卫·希尔伯特(David Hilbert，1862年～1943年）德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡（前苏联加里宁格勒）附近的韦劳。中学时代，希尔伯特就是一名勤奋好学的学生，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年，他不顾父亲让他学法律的意愿，进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学位，后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。1893年被任命为正教授，1895年，转入哥廷根大学任教授，此后一直在哥廷根生活和工作，于1930年退休。在此期间，他成为柏林科学院通讯院士，并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。
1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖，1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家，第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他敢于公开发表文章悼念"敌人的数学家"达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的哥廷根学派衰落了，希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。
希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界厄米算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特和朗道展开，随后由尤金·维格纳（Template:Lang）继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》（Template:Lang）中就使用这一名词。
希尔伯特空间是欧几里德空间的直接推广。对希尔伯特空间及作用在希尔伯特空间上的算子的研究是泛函分析的重要组成部分。
设H是一个实的线性空间，如果对H中的任何两个向量x和y，都对应着一个实数，记为(x，y)、满足下列条件：
①对H中的任何两个向量x，y，有(x，y)=(y，x);
②对H中的任何三个向量x、y、z及实数α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z);
③对H中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要条件是x=0。则(x，y)称为是H上的一个内积，而H称为内积空间。