在△ABC的各边上向外各作等边△ABF,等边△ACD,等边△BCE。

如何证明:这3个等边三角形的外接圆共点?

思路1:利用四点共圆来证明三圆共点。这是证明拿破仑定理的基础。

证明:设等边△ABF的外接圆和等边△ACD的外接圆相交于O;连AO、CO、BO。

∴ ∠AFB=∠ADC=60°;

∵ A、F、B、O四点共圆;A、D、C、O四点共圆;

∴ ∠AOB=∠AOC=120°;

∴ ∠BOC=120°;

∵ △BCE是等边三角形

∴ ∠BEC=60°;

∴ B、E、C、O四点共圆

∴ 这3个等边三角形的外接圆共点。

结论:因为周角等于360°,所以,∠AOB=∠AOC=120°时,∠BOC就等于120°;用四点共圆的性质定理和判定定理来证明三圆共点的问题。 拿破仑定理证明图

以任意三角形的三边为边向外作等边三角形,则这三个等边三角形的中心的连线是一个等边三角形。

求证:上面3个等边三角形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形?

思路1:利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。

证明:设等边△ABD的外接圆⊙N,等边△ACF的外接圆⊙M,等边△BCE的外接圆⊙P

相交于O;连AO、CO、BO。

∵ A、D、B、O四点共圆;

A、F、C、O四点共圆

B、E、C、O四点共圆

∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°;

∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°;

∵ NP、MP、MN是连心线;

BO、CO、AO是公共弦;

∴ BO⊥NP于X;

CO⊥MP于Y;

AO⊥NM于Z。

∴ X、P、Y、O四点共圆;

Y、M、Z、O四点共圆;

Z、N、X、O四点共圆;

∴ ∠N=∠M=∠P=60°;

即△MNP是等边三角形。

思路2:证明原三角形重心至外围三个等边三角形几何中心距离相等。

拿破仑定理

左图中绿色辅助线利用中线特性求其长度,绿色角度值亦可用余弦定理求出,结合垂角,进一步利用余弦定理求出两几何中心距离,同理可证原重心与另外两个等边三角形的几何中心距离。

费马点也是证明拿破仑定理的好方法。

右图即是用费马点的性质来推导拿破仑定理的证明方法。 拿破仑三角形证明方法二

思路3:用相似证明三边相等

证明:如图1,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,向△ABC外作等边三角形(△BCC'、△ACA'、△ABB'),设这三个三角形的中心分别为D,E,F,

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