一个在 的矩阵上的矩阵范数(matrix norm)是一个从 线性空间到实数域上的一个函数，记为|| ||，它对于任意的 矩阵A和B及所有实数a，满足以下四条性质：[1]
||A||>=0;
||A||=0 iff A=O （零矩阵）; （1和2可统称为正定性）
||aA||=|a| ||A||; （齐次性）
||A+B||<= ||A|| + ||B||. （三角不等式）
在一些教科书上定义的矩阵范数是对于 阶矩阵的，这种定义往往要求矩阵满足相容性，即
5.||AB||<=||A|| ||B||. （相容性）
在本文中，对于矩阵范数的定义仅要求前4条性质，而满足第5个性质的矩阵范数称为服从乘法范数（sub-
multiplicative norm）
一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。 如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。
注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为m*n矩阵全体和m*n维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。
把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数 ║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} ，它自动满足对向量范数的相容性 ║Ax║ ≤ ║A║║x║， 并且可以由此证明 ║AB║ ≤ ║A║║B║。
注：1.上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定理)，从而上面的连续函数可以取到最值。
2.显然，单位矩阵的算子范数为1。
常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是：
1-范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值) (其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似)；
2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (欧几里德范数,谱范数,即A^H*A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵)；