特征值是指对于 阶方阵 ,如果存在实数 和非零 维列向量 ,使得 成立,则称 是 的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零 维列向量 称为矩阵 的属于特征值 (或称对应于特征值 )的特征向量或本征向量,简称 的特征向量或 的本征向量。[1]
设 为 阶矩阵,若存在常数 及 n维非零向量 ,使得 ,则称 是矩阵 的特征值, 是 属于特征值 的特征向量。
的所有特征值的全体,叫做 的谱,记为 .
如将特征值的取值扩展到复数领域,则一个广义特征值有如下形式:
其中 和 为矩阵。其广义特征值(第二种意义) 可以通过求解方程 ,得到 (其中 即行列式)构成形如 的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项,称为一个“丛(pencil)”。
若 可逆,则原关系式可以写作 ,也即标准的特征值问题。当 为非可逆矩阵(无法进行逆变换)时,广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
如果 和 是实对称矩阵,则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显,因为 矩阵未必是对称的。
求 阶矩阵 的特征值的基本方法:
根据定义可改写为关系式 ,其中 为单位矩阵。要求向量 具有非零解,即求齐次线性方程组 有非零解的值 。即要求行列式 。 解此行列式获得的 值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的 ,即为输入这个行列式的特征向量。
求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下:
第一步:计算的特征多项式;
第二步:求出特征方程的全部根,即为全部特征值;
第三步:对于每一个特征值,求出齐次线性方程组的一个基础解系,则属于特征值的全部特征向量是不全为零的任意实数。
[注]:特征向量不能由特征值惟一确定。反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
求特征向量
设 为n阶矩阵,根据关系式 ,可写出 ,继而写出特征多项式 ,可求出矩阵A有n个特征值(包括重特征值)。将求出的特征值 代入原特征多项式,求解方程 ,所求解向量 就是对应的特征值 的特征向量。
判断相似矩阵的必要条件
设有n阶矩阵 和 ,若 和 相似 ,则有:
1、 的特征值与 的特征值相同—— ,特别地, , 为 的对角矩阵;
2、 的特征多项式与 的特征多项式相同—— ;
3、 的迹等于 的迹—— (或 ),即主对角线上元素的和;
4、 的行列式值等于 的行列式值—— ;
5、 的秩等于 的秩—— 。[1]
因而A与B的特征值是否相同是判断 与 是否相似的根本依据。