因为所谓算术集恰是自然数集 N中由一阶公式定义的自然数集，而解析集则是由二阶公式定义的自然数集。算术集构成解析集类的一个更易于定义的子类。同时，由于所有的递归集都是算术集，如把它们看成有同样复杂的可定义性并用作讨论的起点，这将是自然的。 同样的，一个递归可枚举集A恰为{x|扽yRxy}，其中R为一般递归谓词,所以一切递归可枚举集也是算术的，而由于一阶公式对于逻辑运算塡和量词彐(自然数变元)具有封闭性，所以任一算术集的补和射影依然是算术的，如此等等。在使用适当约定和稍作引伸之后，即可得到度量集合（数的或问题的）复杂性的一种排序称之为算术分层。类似地可以建立解析分层，从而S.C.克林就利用递归论成功地建立了分层理论及其相应的推广。 因为集合或函数均可用谓词来表述，故以下的讨论将就谓词而言且将沿用递归函数中的符号和概念。 设α,b,с,…,x,y,z;αi,bi,сi,…,xi,yi,zi（i=1,2,…）为自然数集N上的变元（0型变元）,α，β,…,α1，α2,…ξ,η,…为一元数论函数集NN上的变元(1型变元)。若具有0型和1型两种变元的谓词 P（α1,α2,…,αm,α1,α2,…,αn）（m,n≥0,m+n＞0）由一般递归模式出发,经过有限次使用逻辑运算：→,∨,∧,塡 和量词运算扽x,凬x,扽ξ,凬ξ，而得到，则称谓词P是解析谓词。特别地，当P未用函数量词扽ξ,凬ξ 时，则称之为算术谓词。 由于每一个一阶公式都有等价的前束范式，故可只限于讨论前束范式的情形并简称公式为谓词,把序列(α1,α2,…,αm,α1,α2,…,αn)记成α,并将一前束范式的前束词中，相同的一串量词收缩为一个如
分层理论
这样，一谓词是算术的即是可表成下列形式之一：,其中为一般递归谓词,同时，根据量词的个数及公式最外边的量词是扽 还是凬而分别记成型或型（型的对偶形式）。例如,形如 扽的谓词全体记作，而形如凬扽的谓词全体则记作。 分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
把可以用两种形式及来表示的谓词全体记作。 分层理论
分层理论
分层理论
例如,易见（此即把递归集定义作最简单的算术集）。 分层理论
又如，（此即一谓词属于的充要条件为它是一般递归的）。 分层理论
分层理论
在≥1的情形，恒存在一个枚举类（或）的全体谓词的枚举谓词。例如，对于和m==1而言,存在一个原始递归谓词(,,,,)，使得当任给一个一般递归谓词(,,,)时，恒有自然数，使得 分层理论
分层理论
分层理论
此即枚举定理。在这个定理中，可将(,,,,)取为屶(,,,)则有分层定理。 分层理论
对每一≥0，都存在一个型（型）谓词,它不能在其对偶形式中得到表示。换言之，对每一正整数+1而言，有不是的型谓词,也有不是的型谓词。当然,有既不是也不是的型谓词。亦有既不是也不是的型谓词，且有不是的型和型谓词。 分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
分层理论
所以,这就得到了一个方便的分层(1)来给算术谓词（算术集）分类。这个分层称为算术分层。