设函数 的定义域为 ，值域为 , ，中有且只有一个值, 使得 。若将 当作自变量， 当作因变量，得到 ，称为函数 的反函数，而 叫做直接函数。反函数 的定义域为 ，值域为 。此时， 当然也是 的反函数，即 和 互为反函数；前者的定义域和后者的值域相同，前者的值域和后者的定义域相同[1] 。
注(1)：由于在习惯上用x表示自变量，y表示因变量，故将 中的x与y进行对换， 的反函数就变成 。这里 与 是表示同一函数的，因为表示函数对应法则的字母“ ”没有改变，仅自变量与因变量的字母变了[1] 。
注(2)： 与反函数 表示同一图形，而 与反函数 的图形对称于直线 [1] 。这是因为，如果设 是 的图像上任意一点，即 。根据反函数的定义，有 ，即点 在反函数 的图像上。而点 和 关于直线 对称，由 的任意性可知 和 关于 对称。
于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于 对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看作是反函数的一个几何定义。
函数及其反函数的图形关于直线y=x对称
注(3)：反函数与原函数的复合函数等于 ，即：
若一个函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）[2] 。
“函数”这个词用作数学的术语，最早是德国的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出的。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function”一词，翻译成汉语的意思就是“函数”。它指的是关于曲线上某点的一些线段的长，如“横坐标”“纵坐标”“弦”“切线”“法线”等概念。18世纪，法国数学家让·勒朗·达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，认为所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。1837年，德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）进一步给出函数的定义为：对于在某区间上的每一个确定的 值，都有一个或多个确定的 值，那么 叫做 的函数[4] 。
反函数的概念最早可以追溯到17世纪的欧洲数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德（Adrien-Marie Legendre），他首先提出了函数的反函数的概念，并通过对称图形来描述反函数和原函数之间的关系[5] 。同一时期，英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）和德国的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立地发现了微积分学，并在此基础上做出了对反函数的重要贡献。艾萨克·牛顿将反函数的研究与微积分相结合，提出了一种求解反函数的方法，即牛顿法。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨则通过引入导数和微分的概念，对反函数进行了更加系统和深入的研究[6] 。19世纪，高斯对反函数的研究进行了推进。他提出了一个重要的定理，即反函数存在的充分必要条件是原函数为单调函数，这个定理为反函数存在性定理，为后来对反函数的研究奠定了基础，也为函数论的发展做出了重要贡献[7] 。