早在14世纪，尼科尔·奥雷斯姆已经证明调和级数发散，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。[1]
调和序列历来很受建筑师重视；这一点在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。
因此该级数发散。[2]
通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1/n），所以所有长方形的总面积就是调和级数的和： 矩形面积和： 而曲线y=1/x以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出： 曲线下面积： 由于这一部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说，这证明了：
这个方法的拓展即积分判别法。
假设调和级数收敛 , 则：
但与 矛盾，故假设不真，即调和级数发散。
调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说，调和序列前10项的和还不足100。这是因为调和数列的部分和呈对数增长。特别地，[3]
其中 是欧拉-马歇罗尼常数，而 约等于 ，并且随着 k趋于正无穷而趋于 0。这个结果由欧拉给出。
调和级数的第n个部分和为：
也叫作第n个调和数。
第n个调和数与n的自然对数的差值（即 ）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。
两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。
除了n=1时以外，没有任何一个调和数是整数。
很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...
1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。
从更广泛的意义上讲，如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。