对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果有 ，则称函数在点 处连续，且称 为函数的的连续点。
设函数在区间 内有定义，如果 在 的左极限存在且等于 ，即 ，那么就称函数在点 左连续。
设函数在区间 内有定义，如果 在 处右极限存在且等于 ，即： ，那么就称函数 在点 右连续。
一个函数在开区间 内每点连续，则为在 连续，若又在 点右连续， 点左连续，则在闭区间 连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。
显然，由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，我们把 叫做x在x1处的增量（或变化量）。注意增量 可正可负。
同样地，当自变量从x1变化到x2时，相应的函数值也发生变化。我们把 叫做函数值的增量（或变化量）。
再来分析连续的定义。若令 ，则 等价于 ，于是 等价于 。
而根据极限的定义， ，当 时，有
因此，得到函数连续的另一个定义：
这就是说，如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。
注意：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
如果函数 在点 处不连续，则称 在点 处间断，并把 称为 的间断点。
间断有以下三种情况：
1.在点 处 没有定义，在 为发散状态（如图，y=tanx在x=kπ+π/2处无定义，并且在x=kπ+π/2处发散到无穷大）；
2.在 无定义，趋近与 时连续波动（如图，y=sin(1/x)在x=0处无定义，并且在0的某个去心邻域内无限振荡）；
3.虽然 有定义，且 存在，但不等于 （如图，分段函数在x=0处的左右极限都存在，但不等于f(0)）。
共3张 连续函数
定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。
定理三 连续函数的复合函数是连续的。