图1是镜头成像原理图,图中左边的直线是目标,右边的直线是目标所成的像,中间是镜头。从图中可以看出,目标中心点O点成像于像的中心O'点,目标上不同的两点A点和B点成像于A'和B'点,且有

即产生了桶形失真。根据牛顿成像定理,目标高度r与对应像高r'之间的关系为

在物距u一定的情况下, 焦距f愈大,像高r'愈大。镜头不能再等效为理想透镜,而是一个焦距随着目标离光轴距离而变化的成像系统。这样,随着目标离光轴距离的增加,焦距f随着减小,所成图像就产生了桶形失真。[1]

图1 镜头成像原理图

采用多项式地址修正法作图像的映射变换,就是寻求畸变图像上一点A到理论图像上一点A'的映射关系,如图2所示。

图2 映射关系

为了解决点映射问题,需要找到描述点A(x, y)到点A'(x', y')的函数关系, 设r=OA,r'=OA',即r到r'的函数关系。由图可知

可以用二次曲线函数关系表示为

于是

当r=0时,Δr=0,所以c=0。

令 ,因a≠ 0, 所以b=1, 得

又根据

可以算出A'(x', y'),即校正后点的坐标

由于图像的畸变程度与物镜的距离有关,此处a的值设置为可调的,这样可以根据具体情况调节到最佳效果。

通常情况下,广角镜头都有或多或少的桶形畸变,尤其是在变焦镜头的广角端,这个问题更是十分严重,很多大变焦比便携式相机出于成本考虑,在这个方面更是有先天不足。不过这个问题简单了,因为一个名为“全景工具”(Panorama Tools)的软件在网上越来越流行,摄影者们通过这个软件可以轻而易举地矫正桶形畸变和枕形畸变。我们通过全景工具对上图的失真照片进行了矫正。

矫正前的照片

此外,我们还可以通过Adobe Photoshop等一系列软件,矫正数码相机输出的桶形失真图像,掌握了诀窍以后,难度并不大。

图3为摄像头拍摄到的棋盘原图,可以看出图像存在较明显的桶形失真。图4为校正后的图像,失真基本消除。我们可以方便地捕捉到棋盘的每条垂直线和水平线,从而定位出整个棋盘,校正结果良好。

图3 发生畸变的图像

图4 校正后的图像

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