曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。
从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。
曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。
设 是一个正整数， 是正整数或 ， 是实数非空区间， 属于 。一个 类（即 为 次连续可微）向量值函数
称为一条 类参数曲线或曲线 的一个 参数化， 称为曲线 的参数， 称为曲线的像。将曲线 和曲线的像 区别开来非常重要，曲线是一个映射，而像是一个集合。一个给定的像可以描述为许多不同的 曲线。
可以想象参数 代表时间，而曲线 作为空间中一个运动粒子轨迹。
如果I是闭区间 [a,b]，我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而 γ(b) 为终点。
如果 ，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 C-曲线，如果 γ(a) = γ(b) 对所有k≤r。
如果 为单射，我们称为简单曲线。
如果参数曲线 局部可写成幂级数，我们称曲线解析或是 类。记号 - 表示朝相反的方向运动的曲线。
一条 -曲线
称为 阶正则当且仅当对任何 属于 ：
在 中线性无关。
特别地，一条 -曲线 是正则的如果 对任何 [1]
三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。
法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。
对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。