种群动态模型
单种种群模型
种群在无限环境中的指数增长模型 自然种群是在现实的有限的环境中增长的。这里先介绍一个理想种群在无限环境中的增长模型。种群增长可分为离散增长和连续增长两类。如果现实种群只由一个世代构成，相继世代之间没有重叠，种群增长就属于离散型。例如栖息于草原季节性小水坑中的水生昆虫，每年雌虫产一次卵，卵孵化长成幼虫，蛹在泥中渡过旱季，到第二年才变为成虫，世代不相重叠。相反，世代之间有重叠，种群就接近连续增长型。
世代不相重叠种群的离散增长型（差分方程） 假定从一个繁殖季节t0开始，有N0个雌体和同等量的雄体(这样就能简单地以雌体产生雌体来代表种群增长)，其产卵量为B，总死亡为D，那么到下一年，t1时，其种群数量N1为(假定种群没有迁入和迁出)：
N1=N0+B-D。
以λ代表种群两个世代的比率：λ=N1/N0；如果种群在无限环境中年复一年地以这个速率增长，则
N1=N0λ
N2=N1λ
N3=N2λ
.........
Nt+1=Ntλ
或Nt=N0λt。
λ在此称为周限增长率。这种种群增长形式称为几何级数式增长或指数式增长。
对方程式Nt=N0λt两边取对数值，则
lgNt=lgN0+tlgλ。
它具有直线方程y=α+bx的形式。因此,以1gNt对t作图，就能得到一条直线，其中1gN0是直线的截距，1gλ是直线的斜率。如果我们观察到一个种群，用其数量的对数与时间作图，可以得到一条直线，那么就能知道，这个种群象我们的模型一样，具有恒定的增长率，其增长率未受其他因素的限制，同时，按照直线的斜率，就能知道这个种群的周限增长率λ。
这个模型中只有一个参数λ，它是一个有用的量,如果λ=1即Nt+1/Nt=1,则种群数量在t+1时和t时相等,即种群稳定。事实上有 4种可能：λ＞1，种群上升；λ=1,种群稳定；λ=0，种群在一代中灭亡。
世代重叠种群的连续增长模型（微分方程） 如果世代之间有重叠，种群数量以近似连续的方式改变，通常就用微分方程来描述。对于在无限环境中瞬时增长率保持恒定的种群,种群增长仍表现为指数式增长过程,即其积分式为Nt=N0。
式中 e为自然对数的底；r为种群的瞬时增长率。假定b和d为种群的瞬时出生率和瞬时死亡率，那么瞬时增长率r=(b-d)（假定没有迁入和迁出）。
例如，初始种群N0为100，r为0.5/年，则以后的种群数量（见表）。 以种群数量Nt对时间作图，可发现种群增长曲线呈“J”字型,但如以1gNt对t作图,则成为直线与周限生长率λ相似，瞬时增长率r也有 4种情况：r为正值,相当于λ=1，种群上升；r=0，相当于λ=1,种群稳定；r为负值，相当于λr=-∞，相当于λ=0，种群灭亡。r与λ的关系是：r=1nλ，λ=er。 种群指数式（J型）增长模型的应用 据统计大约从1600年以后中国人口增长呈 J型，用指数模型描述是合适的。根据模型能求得中国人口的自然增长率。例如1949年人口为5.4亿，1978年为9.5亿,则Nt=N0两边各取自然对数： 种群动态模型