数论的一个重要分支——代数数论把整数的一些理论推广到了一些特殊的代数整数集合。所谓代数整数就是首一(首项系数是1)整系数多项式的根。而高斯整数即是一类特殊的代数整数集合。
形如 (其中a,b是整数)的复数被称为高斯整数,高斯整数全体记作Z[i]。注意到若 γ=a+bi 是高斯整数,则它是满足如下方程的代数整数
由于γ 满足首一二次整系数多项式,所以它被称为二次无理数。反之,若 α=r+si,其中r,s是有理数,而且 α 是一个首一二次整系数多项式的跟,则 α 是高斯整数。高斯整数是以伟大的德国数学家高斯的名字命名的,他是第一位深入研究这类数性质的数学家。[2]
通常我们使用希腊字母来表示高斯整数,例如α,β,γ和δ。注意到若 n 是一个整数,则 n=n+0i 也是高斯整数。当我们讨论高斯整数的时候,把通常的整数称为有理整数。
加、减、乘运算
高斯整数在加、减、乘运算下是封闭的,正如下面定理所述。
定理1:设 α=x+iy 和 β=w+iz 是高斯整数,其中 x,y,w 和 z 是有理整数,则 α+β,α-β 和 αβ 都是高斯整数。
虽然高斯整数在加、减和乘运算下封闭,但是他们在除法运算下并不封闭,这一点与有理整数类似。此外,若 α=a+bi 是高斯整数,则 N(α)=a2+b2 是非负有理整数。[2]
整除性
我们可以像研究有理整数那样去研究高斯整数。整数的许多基本性质可以直接类推到高斯整数上。要讨论高斯整数的这些性质,我们需要介绍高斯整数类似于通常整数的一些概念。特别地,我们需要说明一个高斯整数整除另一个高斯整数的意义,并给出高斯素数的定义。
定义1:设 α 和 β 是高斯整数,我们称α整除β,是指存在一个高斯整数 γ 使得β=αγ。若α整除β,我们记作α|β ;若α 不整除β ,记作α β 。
高斯整数的整除也满足有理整数整除的一些相同的性质。例如,若α,β和γ 是高斯整数,α|β,β|γ,则α|γ。再者,若α,β,γ,ν和μ 是高斯整数,γ|μ,γ|β,则γ|(μα+νβ)。[2]
1, −1, i及−i都是高斯整数环里面的单位元。除此之外,在高斯整环里面不能因子分解的数称为高斯素数。高斯素数分为两类,其中一类是形式为4n+3(n是整数)的普通素数,如3,7等,它们在高斯整环里面也不能够因子分解。但是所有形式是4n+1的普通素数如5,13等,在高斯整环里面都可以唯一因子分解成两个共轭的高斯素数的乘积,如5=(2+i)(2-i)。需要注意的是,这里我们也可以写成5=(1+2i)(1-2i),这个是因为(2-i)i=1+2i,而i是单位元,所以我们可以认为这两种分解是等价的。此外,素数2也可以分解,即2=(1+i)(1-i)。[2]