分岔理论已用在连结量子系统及经典力学系统的动态中，[3] 可以用在原子系统、分子系统[4] 及谐振隧穿二极管。分岔理论已用到激光动力学的研究中，也用在许多在实验上难以处理的理论例子中，例如kicked top及耦合量子阱。将量子系统及古典力学运动方程中分岔相连结的主要原因是在分岔时，古典力学轨道的signature会变大，正如Martin Gutzwiller在有关量子混沌中的研究所提出的一样。许多分岔都研究来连结古典力学和量子力学，像是鞍结分岔、霍普夫分岔、umbilic分岔、周期加倍分岔、重新连接分叉（reconnection bifurcation）、切线分叉（tangent bifurcation）及尖分叉（cusp bifurcation）。
分岔（bifurcation）常出现在动态系统的数学研究中，是指系统参数（分岔参数）小而连续的变化，结果造成系统本质或是拓扑结构的突然改变。[1] 分岔会出现在连续系统（以常微分方程、时滞微分方程或偏微分方程来描述）或是离散系统中 （以映射来描述）。
bifurcation一词最早是由儒勒·昂利·庞加莱在1885年的论文中提出，这也是第一篇提到类似特性的数学论文，[2] 庞加莱后来也为许多不同的驻点命名而且分类。
分岔可以分为以下的二种类型：
局部分岔（Local bifurcations）是指分岔特性可以用局部稳定性完全分析的分岔，一般会用参数通过临界值时，平衡点、周期性轨迹或其他固定点的局部稳定性。
全域分岔（Global bifurcations）是指分岔特性无法用局部稳定性完全分析的分岔，一般是指较大的不变集彼此重叠，或是和系统的平衡点重叠，这无法只靠平衡点的稳定性分析来求得。
局部分岔是指因参数变化，因此改变平衡点（或是不动点）稳定性的情形，对应平衡点特征值的实部由正变负或是由负变正，在离散系统中（会由映射描述），是指不动点其弗洛凯乘子的模为1。这二种情形下，平衡点在分岔时都是非双曲线的。
局部分岔有一个特性，只要控制分岔参数，可以将系统相图中的拓朴变化限制在分岔点附近任意小的区域中，因此称为局部分岔。
考虑用以下常微分方程描述的连续动态系统
若在 位置的雅可比矩阵有实部为0的特征值，表示在此点有局部分岔。若特征值为0，表示此分岔为稳态的分岔，但若特征值为虚数，表示是霍普夫分岔。
若是离散系统