一个阿贝尔范畴 中的一个复形 ，是对象 及态射 的集，且对所有i，满足 。[4]
单纯复形(simplicial complex)亦称几何单纯复形，是单纯同调论中的一个基本概念，是用单形构造的并且按一定规则组成的图形，它是定义一类拓扑空间的工具。
下面用单形构造更复杂的图形——复形：
定义 K是单形的有限集合。如果K满足
(1) 若 是K的单形，则 的任意面都属于K；
(2) K中所有有单形都规则相处(见下文“规则相处”的介绍)；
那么称K为单纯复形，简称复形。K中单形维数的最大值为K的维数，记作 ，K的零维单形称为K的顶点[1] 。
单纯复形的连通性(connectivity of simplicial complex)是拓扑空间的连通性在复形上的推广。若复形K不是两个非空不相交的子复形的并集，则称复形K是连通的。若L是复形K的连通子复形，并且L不是任何其他连通子复形的真子复形(实际上L是K的极大的连通子复形)，则称L为K的一个连通分支，复形K的连通性等价于下列各条件[2] ：
1.对于复形K中任意顶点a与b，存在K的一系列顶点 ，使得 都是K的1维单形 。
2.复形K的多面体 是道路连通的。
3.复形K的多面体 是连通的。
任意复形K都是有限个互不相交的连通分支 的并，因此多面体 是相同个数互不相交的连通分支 的并，若单纯复形K是 个连通分支 的并集，则各维同调群 有下列直和分解
对于零维同调群，当复形K是连通复形时， ，这里Z是整数加群。而当复形K是r个连通分支的并集时， 是r个整数加群Z的直和，即
设 是Rn中的点，若 具有线性关系，则说明这一组点占有最广的位置。当 时就是一个点，自然此点占有最广位置[1] 。
设 是Rn中占有最广位置的 点，而 ，则我们称点 的集合
为q维单纯形，简称q维单形， 称为 顶点，故常将 记作 ，而系数 称为此单纯形的重心坐标。
定义对于q维单形 ，称 的( )个顶点中的 个点 所构成的 维单形 为 的一个r维面， 的0维面就是顶点，把1维面称为棱。
例1考虑3维单形 ，对于点 ，就有 ，
例如， 维面， 为棱， 为面， 为体，如图1所示。
图1 3维单形(四面体)
当 时， 的 点有 个排列，它们决定同一个 ，这样的单形 被称为无向单形，在 排列中，有一半是偶置换，一半是奇置换，因而这两个置换等价类构成了 两个定向，指定一个定向单形称为有向单形，简记“ ”= ，这里指顶点次序为 的有向单形；另一个定向单形记作“ ”= ，以单纯形作为构件，可以组成单纯复合形、多面体和链。