特征值是指对于 阶方阵 ，如果存在实数 和非零 维列向量 ，使得 成立，则称 是 的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零 维列向量 称为矩阵 的属于特征值 （或称对应于特征值 ）的特征向量或本征向量，简称 的特征向量或 的本征向量。[1]
设 为 阶矩阵，若存在常数 及 n维非零向量 ，使得 ，则称 是矩阵 的特征值， 是 属于特征值 的特征向量。
的所有特征值的全体，叫做 的谱，记为 .
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：
其中 和 为矩阵。其广义特征值（第二种意义） 可以通过求解方程 ，得到 （其中 即行列式）构成形如 的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。
若 可逆，则原关系式可以写作 ，也即标准的特征值问题。当 为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
如果 和 是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为 矩阵未必是对称的。
求 阶矩阵 的特征值的基本方法：
根据定义可改写为关系式 ，其中 为单位矩阵。要求向量 具有非零解，即求齐次线性方程组 有非零解的值 。即要求行列式 。 解此行列式获得的 值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的 ，即为输入这个行列式的特征向量。
求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为全部特征值；
第三步：对于每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则属于特征值的全部特征向量是不全为零的任意实数。
[注]：特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
求特征向量
设 为n阶矩阵，根据关系式 ，可写出 ，继而写出特征多项式 ，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值 代入原特征多项式，求解方程 ，所求解向量 就是对应的特征值 的特征向量。
判断相似矩阵的必要条件
设有n阶矩阵 和 ，若 和 相似 ，则有：
1、 的特征值与 的特征值相同—— ，特别地， ， 为 的对角矩阵；
2、 的特征多项式与 的特征多项式相同—— ；
3、 的迹等于 的迹—— （或 ），即主对角线上元素的和；
4、 的行列式值等于 的行列式值—— ；
5、 的秩等于 的秩—— 。[1]
因而A与B的特征值是否相同是判断 与 是否相似的根本依据。