在 中的余弦定理为
其中 ， ， 为 的三边长。
上式还可以写为：
余弦定理是一条重要的几何定理，其发展贯穿了古代数学的演进，涉及多个文明的贡献。最早关于余弦定理的思想可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》。尽管他没有明确提出余弦定理，但书中第2卷命题12和13涉及类似的关系，讨论了三角形边长和角之间的代数关系[1] 。
而到了中世纪时期，阿拉伯数学家阿尔-胡瓦里兹米和阿尔-图西对三角学进行了更深入的研究。他们系统地总结了球面三角学和平面三角学中的基本定理。其中阿尔-图西首次在球面三角学中明确提出了余弦定理的球面版本。[2]
在欧洲文艺复兴时期，数学家们从阿拉伯文献中重新发现了希腊和印度数学，余弦定理得以系统化。德国数学家雷焦蒙塔努斯在15世纪发展了三角学，使余弦定理的推广更为明确。[2]
17世纪以来，余弦定理被明确用现代的三角函数形式表示简化了数学家的研究和应用，
成为分析三角形问题的基础工具。[3] 现代研究者还进一步扩展了余弦定理，将其应用于非欧几里得几何和高维空间的研究。[4]
余弦定理的证明有许多种方法，这里举如下几例。
过点 作 边上的高，垂足为点 。
当 时，点 在线段 （含端点）上。
锐角情形的证明
故而 ， 。令 ，则由勾股定理可知
两式相减消去变量 即可得
当 时， ，由勾股定理立得
当 时，点 在线段 的反向延长线上。
钝角情形的证明
故而 ， 。令 ，则由勾股定理可知
两式相减消去变量 即可得
因而 对任意三角形均成立。同理地， 和 也成立。定理得证。
在 中满足向量关系
等式两侧平方可得
同理可证得 和 。定理得证。
在 中满足 ，故而
由三角形正弦定理[5]
等比例带入可得
同理可证得 和 。定理得证。
以 为边作正方形，则
面积法证明
代入面积关系
可知
同理有
任意两式相加后减去第三个式子即得