从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数,该数列就称为等差数列,该常数称为等差数列的公差。

例如:奇数列 是公差为2的等差数列。

等差数列有时又被称为“等差级数”、“算术级数”,可能是来源于其英文名arithmetic progression。这与分析学级数理论中的“级数”重名,然而数列本身并不直接包含“级数”的含义。为避免混淆,此处将不把“等差级数”、“算术级数”作为等差数列的别称。

根据定义可知,等差数列的递推公式为:

其中 是常数,表示该数列的公差。

通过递推公式,可以列出,对于 有:

将上面的式子相加,即得:[1]

并且,经过验证,该式对 也成立,于是等差数列的通项公式为:

通过通项公式,等差数列第 项的值 可以由首项 ,公差 和项数 唯一地确定。

如果 成等差数列,那么称 是 和 的等差中项。在一个等差数列中,除首项与有穷等差数列的末项外,每一项都是它的前一项与后一项的等差中项。[2]

由等差中项的定义可知

移项可得

此即 是 和 的等差中项的充要条件。

相传数学王子高斯(Gauss)在童年时期独立发现了等差数列的求和公式。

高斯是一位早慧的数学天才。当他10岁时,一次数学课上,老师为了教训班里吵闹调皮的同学们,布置了一个“复杂”的任务:让学生计算从1加到100的所有整数的和。老师预期这会是一个耗时较长的任务,不用20分钟到30分钟是很难做出来的。

然而,令人惊讶的是,没过多久,高斯就举手表示他已经完成了计算,并给出了答案:5050。老师核对后发现答案完全正确,这让他感到非常意外和好奇。

当老师询问高斯是如何如此迅速地得出答案时,高斯解释了他的方法。他没有采用逐个相加的方式,而是观察到了一个规律:1和100相加等于101,2和99相加也等于101,依此类推,直到50和51相加同样等于101。这样,从1到100的整数就可以被分成50对,每对的和都是101。因此,他只需将101乘以50,就得到了总和5050。高斯的这种巧妙方法让他赢得了老师的赞赏。这段故事也被流传下来。[3]

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