Warning: SQLite3::exec(): near "证明),另一方面也是可数的传递模型": syntax error in /www/wwwroot/bk.haodianxin.cn/db.php on line 62 绝对性

在数学逻辑中,如果在某些类型的结构(也称为模型)中具有相同的真值,则公式被认为是绝对的。关于绝对性的定理通常建立公式的绝对性及其句法形式之间的关系。

有两种较弱的部分绝对形式。如果结构M的每个子结构N中的公式的真实性来自于M中的真值,公式是向下绝对的。如果一个结构N中的一个公式的真实性意味着每个结构M的延伸N的真值,则该公式是向上绝对的。

绝对问题在集合理论和模型理论中,尤其在同时考虑多个结构的领域十分重要。在模型理论中,几个基本的结果和定义是绝对的。在集合理论中,集合的属性是绝对的问题得到了很好的研究。 Shoenfield绝对定理,由于约瑟夫·肖恩菲尔德(Joseph Shoenfield,1961),确定了集合理论模型与其可构造的宇宙之间的一大类公式的绝对性,并且具有重要的方法学影响,同时还研究了大型基数公理的绝对性,得出了正面和负面结果。[2]

在模型理论中,有几个与绝对相关的一般结果和定义。 向下绝对的一个基本例子是,在结构中真实的通用句子(只有通用量词的那些)在原始结构的每个子结构中也是正确的。 相反,存在句子从结构向包含它的任何结构都是上升的。

如果两个结构在共同语言中同意所有句子的真值,也就是说,如果其语言中的所有句子在两个结构之间是绝对的,则这两个结构被定义为基本相等。 如果每当M和N是理论的模型,M是N的子结构,则M是N的基本子结构,则理论被定义为模型完成。

现代集理论的一个主要部分是研究不同型号的ZF和ZFC。 了解这些模型的研究对于不同模型来说,知道哪一个属性是绝对的。 通常从固定理论的固定模型开始,只考虑包含与固定模型相同的序数的其他传递模型。

某些属性对于集合理论的所有传递模型是绝对的,其中包括:

x是空集。

x是一个序数。

X是有限序数。

x =ω。

x是函数的。

其他属性,如可数性,不是绝对的。

绝对失败

Skolem的悖论是一方面的矛盾,一方面,实数的数量是无数的(这可以从ZFC证明,甚至可以从ZFC的一个小型有限子系统ZFC'证明),另一方面也是可数的传递模型 的ZFC(这在ZFC中可以证明),而这样一个模型中的一组实数将是一个可数的集合。 可以通过注意到ZFC的特定模型的子模型的可数性不是绝对的来解决悖论。 可能的是,集合X可以在集合理论的模型中计数,但在包含X的子模型中是不可数的,因为子模型可以不包含X和ω之间的双极,而可计数的定义是存在这样的一个双射。 Löwenheim-Skolem定理在应用于ZFC时表明,这种情况确实发生了。[3]

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