设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 称为X的分布函数。有时也记为 。
对于任意实数 ,
因此,若已知X的分布函数,就可以知道X落在任一区间上的概率,在这个意义上说,分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。
如果将X看成是数轴上的随机点的坐标,那么,分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间 上的概率。
F(x)为随机变量X的分布函数,其充分必要条件为:[1]
(1)F(x)是一个不减函数
对于任意实数
(2)
从几何上说明,将区间端点x沿数轴无限向左移动(即 ),则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件,从而其概率趋于0,即有 ;又若将点x无限右移(即 ),则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于必然事件,从而趋于概率1,即有 [2]
(3) ;
证明:因为 F(x)是单调有界非减函数,所以其任一点x0的右极限F(x0+0)必存在。
为证明右连续,由海涅定理,只要对单调下降的数列 当 时,
证明 成立即可。 因为 :
所以得, .[4]
设离散性随机变量X的分布列为
由概率的可列可加性得 ,
其中和式是对满足 的一切k求和.离散型随机变量的分布函数是分段函数, 的间断点就是离散型随机变量的各可能取值点,并且在其间断点处右连续.离散型随机变量 的分布函数 的图形是阶梯形曲线. 在 的一切有(正)概率的点 ,皆有一个跳跃,其跳跃度正好为 取值 的概率 ,而在分布函数 的任何一个连续点x上, 取值x的概率皆为零。
离散型随机变量的分布律和它的分布函数是相互唯一决定的。它们皆可以用来描述离散型随机变量的统计规律性,但分布律比分布函数更直观简明,处理更方便。因此,一般是用分布律(概率函数)而不是分布函数来描述离散型随机变量。[3]
设X为连续型随机变量,其密度函数为 ,则有
对上式两端求关于x的导数得
这正是连续型随机变量X的分布函数与密度函数之间的关系。
(1)设 ,则随机变量X的分布函数为
(2)设 ,则随机变量X的分布函数为
(3)设 ,则随机变量的分布函数为
对于 ,其分布函数为