四元数（Quaternions），是由爱尔兰数学家哈密顿（William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念，直到1985年才由Shoemake把四元数引入到计算机图形学中。四元数的乘法不符合交换律（commutative law）。
威廉·卢云·哈密顿
明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。
四元数是除环（除法环）的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有逆元素。
四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。
四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多于 n 个不同的根。
详见参考资料《关于四[3] 元数的几何意义和物理应用》
四元数就是形如 的数， 是实数。
，称为四元数的二范数。
假设：
那么：
像在四元数和空间转动条目中详细解释的那样，非零四元数的乘法群在 的取实部为零的拷贝上以共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）的共轭作用，若实部为 ，是一个角度为 的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：
1.非奇异表达（和例如欧拉角之类的表示相比）
2.比矩阵更紧凑（更快速）
3.单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。
4.所有单位四元数的集合组成一个三维球 和在乘法下的一个群（一个李群）。 是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群 的双面覆盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。 群和 同构， 是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令 为形为 的四元数的集合，其中 或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合 是一个环，并且是一个格。该环中存在 24 个四元数，而它们是施莱夫利符号为 的正二十四胞体的顶点。