对于在实数区间 上有定义的函数 ，并在 上给出满足 的区间族 作为其剖分，令 为剖分的最大直径。
取 ，那么称函数 在区间 上的黎曼和为：
当极限 存在时，定积分有定义：
直观地看，定积分描述的是函数图像 和直线 , ， 轴围成的曲边梯形的正向面积——即在 轴上方部分的面积被记为正，在 轴下方部分的面积被记为负。利用定积分，可以计算含曲边几何体的面积，变速运动的路程，变力做功等。
例如，要计算：
可以先考虑将 剖分为 ， 。
此时有 ，于是可得：
从而有：
成立。
于是在等分点剖分下，由此计算得到 。
在上述问题中，对于一般的区间剖分，由于有理数在实数中稠密，可以得到：对于任意 和任意剖分，当 时，都存在一个等分点剖分，使得在该等分点剖分下得到的黎曼和 满足：
由 的任意性得，选取等分点剖分时，黎曼和的极限与定积分值相同。
函数在 上黎曼可积的充分必要条件有下面这些：
① 达布上下和的极限相等
对于剖分 ，记 那么达布上和、达布下和分别定义为：
显然有 ，如果 ，那么可以得到 存在且为确定值，从而得知 存在，也即 在 上黎曼可积。
反过来，如果函数黎曼可积，那么由定积分的定义易知 成立。由此，该条件的充分性与必要性得证。
② 振幅黎曼和的极限为零
记号同上节，另记 ，称为函数在区间 上的振幅。
显然上节的条件等价于
此即函数黎曼可积的另一个充要条件。
③ 勒贝格定理
定理表述为：一个有界函数黎曼可积的充分必要条件，是其不连续点集为零测集。
因其证明较为复杂，故此处略去。
由此可以很容易地证明黎曼函数 在 是黎曼可积的，因为它的不连续点集为 上的有理数集，这是零测的。
函数定积分有如下基本性质。以下记号中 是在区间 上黎曼可积的函数, 是实数。利用上一节的三个充要条件可完成证明。
① 线性性
函数 在 上黎曼可积.
② 乘积可积
函数 在 上黎曼可积。
③ 可加性（对积分区间而言）