德国数学家卡尔·莱因哈特于1918年发现了五种可以镶嵌平面的五边形，从那时起，寻找可以镶嵌平面的五边形并将它们分类就成为了一个数学世纪难题。
很多人都认为莱因哈特已经把所有可以镶嵌平面的五边形都找出来了，但事实并非如此：1968年，R·B·克什纳又发现了三种；1975年，理查德·詹姆斯将纪录刷新到了9种；同年，圣地亚哥一位50多岁的家庭主妇马乔里·赖斯。从《科学美国人》杂志中获知了詹姆斯的发现，作为一名业余数学家，赖斯发明了自己的数学符号和方法，并在接下来的几年内发现了另外四种可以镶嵌的五边形。
1985年，罗尔夫·施泰因发现了第14种。似乎这样的五边形还会越来越多。不过，在那之后五边形追踪行动似乎陷入了低谷。[1]
2015年8月19日，美国华盛顿大学研究团队发现了一种新的不规则五边形，相互组合后可完全铺满平面，不会出现重迭或有任何空隙，是全球第15种能做到此效果的五边形。而距上次发现类似效果的五边形已时隔30年，这项发现相当于在数学领域中寻了获新原子粒子。[2]
正五边形，是正多边形的一种，有将正五边形的对角线连起来，可以造成一个五角星。组成的图形里可以找到一些和黄金分割（φ = (√5-1)/2）有关的长度。[3] 面积公式
边长为a的正五边形，其面积就是:5a^2/4*cot*3.14/5=1.72048a^2
约前300年，欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。
1.画一条水平线，通过此线上的任意点做一个圆。 正五边形的构造过程
2.将圆规的一腿放在圆与直线的其一交点上，通过上述圆的圆心画半圆，并与之交两点。连接这两点做垂直线，与先前的水平线相交与(a)点.
3.张开圆规，以水平线与第一个圆的两个交点为圆心以相同半径在水平线上下第一个圆外分别做两个交点，这样可以得到一条通过第一个圆圆心的正交线，与第一个圆相交的位于水平线上方的点称之为(b).这是正五边形的第一个角。
4.将圆规的一脚放在(a)点上，(a)(b)间距为半径做另一个圆，交水平线于点(c)。
5.将圆规的一脚放在(b)点上，(b)(c)间距为半径做圆，交第一个圆于两点，这是正五边形的第二、三两点。
6.将圆规的一脚分别放在二、三两点上，同样是(b)(c)间距为半径交第一个圆于另外两点，这两点就是正五边形的最后两点。
7.连接相邻两点就构成了正五边形。
8.如果不是连接相邻两点（即对角线连接），就会得到一个五角星，在它的中间构成一个小的正五边形。或者延长每一边，得到一个大的正五角星。