设 为一个测度空间， 是一个实值的可测正值函数列。那么：[1]
其中函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数取值和积分可以是无穷大。
定理证明基于单调收敛定理。设 为函数列的下极限。对每一个正整数 k ，要逐点定义下极限函数：
所以是函数列g1, g2, . . .单调递增并趋于 。
任意k ≤ n，有gk ≤ fn，因此
据此，由单调收敛定理以及下极限定义，就有：
令 为测度空间 中的一列的可测函数，函数的值域为扩展的实数轴（包括无穷大）。如果存在一个在S上可积的正值函数g ，使得对所有的n都有 ，那么 。
这里g只需弱可积、即 。
证明：对函数列 应用法图引理即可以。
法图引理不仅对取正值函数列成立，在一定的限制条件下，可以扩展到任意实值函数。令 为测度空间 中的一列可测函数，函数的值域为扩展的实数轴（包括无穷大）。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ，使得对所有的 n 都有 ，那么
证明：对函数列 应用法图引理即可。
在以上的条件下，如果函数列在S上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数 ，那么 。
证明： 是函数列的极限，因此自然是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。
如果函数列在S上依测度收敛到 ，那么上面的命题仍然成立。
证明：存在 的一个子列使得 。
这个子列仍然依测度收敛到 ，于是又存在这个子列的一个子列在S 上μ-几乎处处逐点收敛到 ，于是命题成立。