数学中使用 来表示所有自然数组成的集合。
为了消除自然数是否包含0的歧义，有时会通过上、下标的形式表示集合中是否包含0：
自然数： ；
非零自然数（正整数）： 。
自然数集 有基数理论和序数理论两种等价定义。
基于序数理论：[2] [3]
自然数集 的皮亚诺公理定义由四条公理给出：
1) 非空；
2) 上有一单射f，对任意的 ， ；称 为 的后继数；
3) 0不是任何自然数的后继数；
4)（归纳公理）设S为 的一非空子集，满足 且 ，那么 。
上述公理用数学语言可以表述如下：
基于基数理论：[3]
在 ZFC 和有关理论中，自然数的集合论定义是约翰·冯·诺伊曼的序数定义：
1) ；
2) ；
通过无穷公理，可以得到存在一个只包含全体自然数的自然数集。
注意在以下介绍的性质中，自然数集都默认包含0。如果不包含0，那么只是性质的形式会略有变化。[3] [4] [5]
如果集合 与自然数集等势（即存在 到 上的双射），记作 ，就称X为可数集（或可列集）。可数集的势记为 ，读作“阿列夫零”。
设 ，则 。用 表示这样的自然数的集合 。于是 ，这是因为任何 ， 作为 的后继有 。如果 ，即 对所有 成立，那么由 知 。归纳得 。
类似地，设 ，则 。
对于任何自然数a和b， 且 。
由上面的证明可知 是交换幺半群，其中生成元为1，幺元为0。 也是交换幺半群，幺元为1。
自然数集满足乘法对加法的分配律：
自然数集 的元素间有关系≤，即对 的元素x与y，或满足x≤y，或满足y≤x。同时满足以下条件（序公理）：
满足上述四条公理的集合称为线性序集，这样所有 中的元素均能比较大小。
如果a和b是自然数，并且 ，则a=0或b=0（或都等于0）。