数学中使用 来表示所有自然数组成的集合。
为了消除自然数是否包含0的歧义,有时会通过上、下标的形式表示集合中是否包含0:
自然数: ;
非零自然数(正整数): 。
自然数集 有基数理论和序数理论两种等价定义。
基于序数理论:[2] [3]
自然数集 的皮亚诺公理定义由四条公理给出:
1) 非空;
2) 上有一单射f,对任意的 , ;称 为 的后继数;
3) 0不是任何自然数的后继数;
4)(归纳公理)设S为 的一非空子集,满足 且 ,那么 。
上述公理用数学语言可以表述如下:
基于基数理论:[3]
在 ZFC 和有关理论中,自然数的集合论定义是约翰·冯·诺伊曼的序数定义:
1) ;
2) ;
通过无穷公理,可以得到存在一个只包含全体自然数的自然数集。
注意在以下介绍的性质中,自然数集都默认包含0。如果不包含0,那么只是性质的形式会略有变化。[3] [4] [5]
如果集合 与自然数集等势(即存在 到 上的双射),记作 ,就称X为可数集(或可列集)。可数集的势记为 ,读作“阿列夫零”。
设 ,则 。用 表示这样的自然数的集合 。于是 ,这是因为任何 , 作为 的后继有 。如果 ,即 对所有 成立,那么由 知 。归纳得 。
类似地,设 ,则 。
对于任何自然数a和b, 且 。
由上面的证明可知 是交换幺半群,其中生成元为1,幺元为0。 也是交换幺半群,幺元为1。
自然数集满足乘法对加法的分配律:
自然数集 的元素间有关系≤,即对 的元素x与y,或满足x≤y,或满足y≤x。同时满足以下条件(序公理):
满足上述四条公理的集合称为线性序集,这样所有 中的元素均能比较大小。
如果a和b是自然数,并且 ,则a=0或b=0(或都等于0)。