如果函数f(x,y)在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件,则方程dy/dx=f(x,y);存在唯一的解y=φ(x),定义于区间|x-x0|<=h上,连续且满足初值条件φ(x0)=y0,这里h=min(a,b/M) , M=max|f(x,y)|。[1]

设y=φ(x)是方程的定义于区间x0<=x<=x0+h上,满足初值条件φ(x0)=y0的解,则y=φ(x)是积分方程y=y0+∫f(x,y)dx,x0<=x<=x0+h的定义于x0<=x<=x0+h上的连续解,反之亦然。

对于所有的n,皮卡逐步逼近函数φn(x)在 x0<=x<=x0+h上有定义,连续且满足不等式|φn(x)-y0|<=b。

函数序列{φn(x)} 在x0<=x<=x0+h上已收敛的。

φn(x)是积分方程的定义于x0<=x<=x0+h上的连续解

设ψ(x)是积分方程的定义于 x0<=x<=x0+h的另一个解,则ψ(x)=φ(x)(x0<=x<=x0+h)

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